Resolução da avaliação 3º A - Prova 2

Prova 2

1) Admita que o centro do plano complexo Argand-Gauss coincida com o centro de um relógio de ponteiros, como indica a figura:

Se o ponteiro dos minutos tem 2 unidades de comprimento, às 11h55 sua ponta estará sobre qual número complexo (na forma algébrica)?

Às 11h55, a ponta do ponteiro dos minutos representa o número complexo z de módulo 2 e argumento principal 4.30º = 120º.

Assim, z = 2 (cos 120º + i.sen 120º)

z = 2 [–1/2 + i(3) ½/2]

z =  ­– 1 + i(3)½

2) Dados os números complexos z₁ = 2[cos (π/4) + i.sen (π/4)] e z₂ = 3[cos (π/2 + i.sen (π/2)], calcule e dê a resposta na forma trigonométrica e na forma algébrica:

a) ) z₁.z₂

z₁.z₂ = 6 [cos (π/4 + π/2) + i.sen (π/4 + 2π/2)]

        = 6 [cos (3π/4) + i.sen (3π/4)]

z₁.z₂ = 6 [cos 135º + i.sen 135º]

        = 6 {(2)½/2 + i.[–(2)½/2]}

       = 3(2)½ – 3i.(2)½

b) z₁/z₂

z₁/z₂ = 2/3 [cos (π/4 – π/2) + i.sen (π/4 – π/2)

        = 2/3 [cos (– π/4) + i.sen (– π/4)]

z₁/z₂ = 2/3 [cos (– 45º) + i.sen (– 45º)]

       = 2/3 { (2)½/2 + i. [– (2)½/2]}

      =  (2)½/3 – i.(2)½/3

3) Um polinômio P(x) = x³ + ax² + bx + c, para qualquer que seja x real, satisfaz as seguintes condições: P(1) = 0 e P(– x) + P(x) = 0. Qual o valor de P(2)?

P(1) = 1 + a + b + c

a + b + c = - 1 

P(- x) = - x³ + ax² - bx + c

P(- x) + P(x) = 0

- x³ + ax² - bx + c + (x³ + ax² + bx + c) = 0

2ax² + 2c = 0

ax² + c = 0

a = 0

c = 0

a + b + c = - 1

b = - 1

P(x) = x³ + 0x² + bx + 0

P(x) = x³ - x

P(2) = 2³ - 2

P(2) = 8 – 2

P(2) = 6

4) O polinômio p(x) = x³ + ax² + bx, em que a e b são números reais, tem restos 2 e 4 quando dividido por x – 2 e x – 1 respectivamente. Assim, calcule o valor de a.

a = – 6

5) O polinômio 2x³ + mx² + 4x – 1 é divisível por x – 1, então qual o valor do quociente?

Se o polinômio em questão é divisível pelo binômio dado significa que o resto é nulo, ou seja, R(x) = 0.

R(x) = m + 5 = 0

m + 5 = 0

m = – 5

Q(x) = 2x² + (2 + m)x + (6 + m)

Q(x) = 2x² + (2 – 5)x + (6 – 5)

Q(x) = 2x² – 3x + 1

Resolução da avaliação 3º A - Prova 1

Prova 1

1) Um jantar secreto é marcado para a hora em que as extremidades dos ponteiros do relógio forem representadas pelos números complexos z e w a seguir: z = α [cos (π/2) + i.sen (π/2)], w = z², sendo α um número real fixo, 0 < α < 1.

Determine a hora do jantar.

A partir dos dados, encontramos:

I) z = α.i 

e

w = z² = (α.i)² = – α²

Assim, o afixo de z encontra-se no semi-eixo imaginário positivo e o afixo de w encontra-se no semi-eixo real negativo.

II) |z| = α

e

|w| = α²

Se 0 < α < 1, então α² < α Û |w| < |z|. Daí, concluímos que w representa a extremidade do ponteiro das horas e z a extremidade do ponteiro dos minutos. Portanto, de (I) e (II), podemos afirmar que o jantar foi marcado para as 9 horas.

2) Dados os números complexos z₁ = 3 [cos (π/3) + i.sen (π/3)] e z₂ = 2 [cos (2π/3) + i.sen (2π/3)], calcule e dê a resposta na forma trigonométrica e na forma algébrica:

a) z₁.z₂

z₁.z₂ = 6 [cos (π/3 + 2π/3) + i.sen (π/3 + 2π/3)]

        = 6 [cos (π) + i.sen (π)]

z₁.z₂ = 6 [cos 180º + i.sen 180º]

        = 6 [(–1) + i.(0)]

       = – 6   

b) z₁/z₂

z₁/z₂ = 3/2 [cos (π/3 – 2π/3) + i.sen (π/3 – 2π/3)

        = 3/2 [cos (– π/3) + i.sen (– π/3)]

z₁/z₂ = 3/2 [cos (– 60º) + i.sen (– 60º)]

       = 3/2 { (1/2) + i. [– (3)½/2]}

      = 3/4 – 3i.(3)½/4

3) Dado o polinômio P(x) = x³ – 2x² +mx – 1, onde m ∈ R e seja P(a) o valor de P para x = a. Se P(2) = 3.P(0), calcule P(m).

P(2) = (2)³ – 2(2)² + m(2) – 1 = 8 – 8 + 2m – 1 = 2m – 1

P(0) = (0)³ – 2(0)² + m(0) – 1 = –1

P(2) = 3.P(0) ⇒ 2m – 1 = 3(– 1) ⇒ 2m = 1 – 3 ⇒ m = – 2/2 = – 1

P(–1) = (–1)³ – 2(–1) + (–1).( –1) – 1 = – 1 – 2 +1 – 1 = – 3

P(m) = P(– 1) = – 3

4) O resto da divisão do polinômio x³ + px + q por x + 1 é 4 e o resto da divisão deste mesmo polinômio por x – 1 é 8. Calcule o valor de p.

P(a) = R

P(– 1) = 4

(– 1)³ + p(– 1) + q = 4 ⇒ – 1 – p + q = 4  ⇒ – p + q = 5

P (1) = 8

(1)³ + p(1) + q = 8  ⇒ 1 + p + q = 8 ⇒  p + q = 7

Resolvendo o sistema, temos:

– p + q = 5

    p + q = 7

           q = 6

Deste modo:

p + q = 7 ⇒  p + 6 = 7  ⇒  p = 7 – 6 = 1

5) Se o polinômio x³ + kx² – 2x + 3 é divisível pelo polinômio x² – x + 1, então qual o valor do quociente?

P(x) º D(x).Q(x) + R(x)

x³ + kx² – 2x + 3 º (x² – x + 1).(x + k + 1) + 0

x³ + kx² – 2x + 3 º x³ + kx² + x² – x² – kx – x + x + k + 1 + 0

x³ + kx² – 2x + 3 º x³ + kx² – kx + k + 1

Por comparação dos coeficientes, temos:

–  2 = – k ⇒ k = 2

e

3 = (k +1) ⇒ k = 2

Deste modo:

Q(x) = x + (k + 1) = x + 2 + 1

Q(x) = x + 3