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terça-feira, 14 de dezembro de 2010
terça-feira, 7 de dezembro de 2010
segunda-feira, 6 de dezembro de 2010
Resolução da avaliação 3º A - Prova 2
Prova 2
a + b + c = - 1
P(- x) = - x³ + ax² - bx + c
P(- x) + P(x) = 0
- x³ + ax² - bx + c + (x³ + ax² + bx + c) = 0
2ax² + 2c = 0
ax² + c = 0
a = 0
c = 0
a + b + c = - 1
b = - 1
P(x) = x³ + 0x² + bx + 0
P(x) = x³ - x
P(2) = 2³ - 2
P(2) = 8 – 2
P(2) = 6
Se o polinômio em questão é divisível pelo binômio dado significa que o resto é nulo, ou seja, R(x) = 0.
Q(x) = 2x² – 3x + 1
1) Admita que o centro do plano complexo Argand-Gauss coincida com o centro de um relógio de ponteiros, como indica a figura:
Se o ponteiro dos minutos tem 2 unidades de comprimento, às 11h55 sua ponta estará sobre qual número complexo (na forma algébrica)?
Às 11h55, a ponta do ponteiro dos minutos representa o número complexo z de módulo 2 e argumento principal 4.30º = 120º.
Assim, z = 2 (cos 120º + i.sen 120º)
z = 2 [–1/2 + i(3) ½/2]
z = – 1 + i(3)½
2) Dados os números complexos z1 = 2[cos (π/4) + i.sen (π/4)] e z2 = 3[cos (π/2 + i.sen (π/2)], calcule e dê a resposta na forma trigonométrica e na forma algébrica:
a) ) z1.z2
z1.z2 = 6 [cos (π/4 + π/2) + i.sen (π/4 + 2π/2)]
= 6 [cos (3π/4) + i.sen (3π/4)]
z1.z2 = 6 [cos 135º + i.sen 135º]
= 6 {(2)½/2 + i.[–(2)½/2]}
= 3(2)½ – 3i.(2)½
b) z1/z2
z1/z2 = 2/3 [cos (π/4 – π/2) + i.sen (π/4 – π/2)
= 2/3 [cos (– π/4) + i.sen (– π/4)]
z1/z2 = 2/3 [cos (– 45º) + i.sen (– 45º)]
= 2/3 { (2)½/2 + i. [– (2)½/2]}
= (2)½/3 – i.(2)½/3
3) Um polinômio P(x) = x³ + ax² + bx + c, para qualquer que seja x real, satisfaz as seguintes condições: P(1) = 0 e P(– x) + P(x) = 0. Qual o valor de P(2)?
P(1) = 1 + a + b + c
a + b + c = - 1
P(- x) = - x³ + ax² - bx + c
P(- x) + P(x) = 0
- x³ + ax² - bx + c + (x³ + ax² + bx + c) = 0
2ax² + 2c = 0
ax² + c = 0
a = 0
c = 0
a + b + c = - 1
b = - 1
P(x) = x³ + 0x² + bx + 0
P(x) = x³ - x
P(2) = 2³ - 2
P(2) = 8 – 2
P(2) = 6
4) O polinômio p(x) = x³ + ax² + bx, em que a e b são números reais, tem restos 2 e 4 quando dividido por x – 2 e x – 1 respectivamente. Assim, calcule o valor de a.
a = – 6
5) O polinômio 2x³ + mx² + 4x – 1 é divisível por x – 1, então qual o valor do quociente?
R(x) = m + 5 = 0
m + 5 = 0
m = – 5
Q(x) = 2x² + (2 + m)x + (6 + m)
Q(x) = 2x² + (2 – 5)x + (6 – 5)
Resolução da avaliação 3º A - Prova 1
Prova 1
Q(x) = x + 3
1) Um jantar secreto é marcado para a hora em que as extremidades dos ponteiros do relógio forem representadas pelos números complexos z e w a seguir: z = α [cos (π/2) + i.sen (π/2)], w = z², sendo α um número real fixo, 0 < α < 1.
Determine a hora do jantar.
A partir dos dados, encontramos:
I) z = α.i
w = z² = (α.i)² = – α²
Assim, o afixo de z encontra-se no semi-eixo imaginário positivo e o afixo de w encontra-se no semi-eixo real negativo.
II) |z| = α
e
|w| = α²
Se 0 < α < 1, então α² < α Û |w| < |z|. Daí, concluímos que w representa a extremidade do ponteiro das horas e z a extremidade do ponteiro dos minutos. Portanto, de (I) e (II), podemos afirmar que o jantar foi marcado para as 9 horas.
2) Dados os números complexos z1 = 3 [cos (π/3) + i.sen (π/3)] e z2 = 2 [cos (2π/3) + i.sen (2π/3)], calcule e dê a resposta na forma trigonométrica e na forma algébrica:
a) z1.z2
z1.z2 = 6 [cos (π/3 + 2π/3) + i.sen (π/3 + 2π/3)]
= 6 [cos (π) + i.sen (π)]
z1.z2 = 6 [cos 180º + i.sen 180º]
= 6 [(–1) + i.(0)]
= – 6
b) z1/z2
z1/z2 = 3/2 [cos (π/3 – 2π/3) + i.sen (π/3 – 2π/3)
= 3/2 [cos (– π/3) + i.sen (– π/3)]
z1/z2 = 3/2 [cos (– 60º) + i.sen (– 60º)]
= 3/2 { (1/2) + i. [– (3)½/2]}
= 3/4 – 3i.(3)½/4
3) Dado o polinômio P(x) = x³ – 2x² +mx – 1, onde m ∈ R e seja P(a) o valor de P para x = a. Se P(2) = 3.P(0), calcule P(m).
P(2) = (2)³ – 2(2)² + m(2) – 1 = 8 – 8 + 2m – 1 = 2m – 1
P(0) = (0)³ – 2(0)² + m(0) – 1 = –1
P(2) = 3.P(0) ⇒ 2m – 1 = 3(– 1) ⇒ 2m = 1 – 3 ⇒ m = – 2/2 = – 1
P(–1) = (–1)³ – 2(–1) + (–1).( –1) – 1 = – 1 – 2 +1 – 1 = – 3
P(m) = P(– 1) = – 3
4) O resto da divisão do polinômio x³ + px + q por x + 1 é 4 e o resto da divisão deste mesmo polinômio por x – 1 é 8. Calcule o valor de p.
P(a) = R
P(– 1) = 4
(– 1)³ + p(– 1) + q = 4 ⇒ – 1 – p + q = 4 ⇒ – p + q = 5
P (1) = 8
(1)³ + p(1) + q = 8 ⇒ 1 + p + q = 8 ⇒ p + q = 7
Resolvendo o sistema, temos:
– p + q = 5
p + q = 7
q = 6
Deste modo:
p + q = 7 ⇒ p + 6 = 7 ⇒ p = 7 – 6 = 1
5) Se o polinômio x³ + kx² – 2x + 3 é divisível pelo polinômio x² – x + 1, então qual o valor do quociente?
P(x) º D(x).Q(x) + R(x)
x³ + kx² – 2x + 3 º (x² – x + 1).(x + k + 1) + 0
x³ + kx² – 2x + 3 º x³ + kx² + x² – x² – kx – x + x + k + 1 + 0
x³ + kx² – 2x + 3 º x³ + kx² – kx + k + 1
Por comparação dos coeficientes, temos:
– 2 = – k ⇒ k = 2
e
3 = (k +1) ⇒ k = 2
Deste modo:
Q(x) = x + (k + 1) = x + 2 + 1
domingo, 5 de dezembro de 2010
Resolução da avaliação 2º D - Prova 2
Prova 2
1) Na Medicina, o ultrasom de freqüência entre 1,0 MHz e 10 MHz é empregado para examinar a forma e o movimento dos órgãos dentro do corpo. Admitindo que a velocidade de sua propagação nos tecidos do corpo humano é de aproximadamente 1500 m/s, qual o comprimento de onda empregado correspondente ao ultra-som de maior frequência? (dê a resposta em milímetros)
l = v/f
l = 1500/10 x 106 = 150 x 10 – 6 m
l = 15 x 10 – 2 mm
2) A faixa de emissão de rádio em frequência modulada, no Brasil, vai de, aproximadamente, 88 MHz a 108 MHz. Qual a razão entre o menor e o maior comprimento de onda desta faixa?
Ondas de rádio são ondas eletromagnéticas e sua velocidade é igual a aproximadamente a velocidade da luz no vácuo: c = 3 x 108 m/s.
l = v/f
l1 = 3 x 108/88 x 106
l1 = 0,034 x 10² m
l2 = 3 x 108/108 x 106
l2 = 0,027 x 10² m
Razão é uma divisão:
l2/l1 = 0,027 x 10²/0,034 x 10²
l1/l2 = 0,794
3) A figura representa, num determinado istante, o valor (em escala arbitrária) do campo elétrico. E associado a uma onda eletromagnética que se propaga no vácuo, ao longo do eixo x, correspondente a um raio de luz de determinada cor.
A velocidade da luz no vácuo vale 3,0 x 108 m/s. Qual é a freqência dessa luz em hertz?
f = v/l
O comprimento de onda, pelo gráfico, é de 6 x 10 – 6 m:
f = 3,0 x 108/6 x 10 – 6
f = 0,5 x 1014 Hz
4) Nas últimas décadas, o cinema têm produzido inúmeros filmes de ficção científica com cenas de guerras espaciais, como Guerra nas Estrelas. Com exceção de 2001, Uma Odisséia no Espaço, essas cenas apresentam explosões com estrondos impressionantes, além de efeitos luminosos espetaculares, tudo isso no espaço interplanetário.
a) | Comparando Guerra nas Estrelas, que apresenta efeitos sonoros de explosão, com 2001, uma odisséia no Espaço, que não os apresenta, qual deles está de acordo com as leis da Física? Explique sua resposta. As ondas sonoras são ondas mecânicas, e por isso não se propagam no vácuo. Então 2001, Uma Odisséia no Espaço está de acordo com as leis da Física, enquanto Guerra nas Estrelas não está. Não se pode ouvir uma explosão no espaço. |
b) | E quanto aos efeitos luminosos apresentados por ambos, estão de acordo com as leis Físicas? Justifique. |
Ambos os filmes estão de acordo com as leis Físicas, no que diz respeito aos efeitos luminosos, pois a luz é uma onda eletromagnética, e por isso pode se propagar no vácuo.
Resolução da avaliação 2º D - Prova 1
Prova 1
1) Em um exame de audiometria, uma pessoa foi capaz de ouvir frequências entre 50 Hz e 3 kHz. Sabendo-se que a velocidade do som no ar é 340 m/s, qual o comprimento de onda correspondente ao som de maior frequência (mais agudo) que a pessoa ouviu? (dê a resposta em centímetros)
A maior frequência e de 3 kHz = 3000 Hz:
l = v/f
l = 340/3000 = 0,113 m
l = 11,3 cm
2) A faixa de emissão de rádio em frequência modulada, no Brasil, vai de, aproximadamente, 88 MHz a 108 MHz. Qual a razão entre o maior e o menor comprimento de onda desta faixa?
Ondas de rádio são ondas eletromagnéticas e sua velocidade é igual a aproximadamente a velocidade da luz no vácuo: c = 3 x 108 m/s.
l = v/f
l1 = 3 x 108/88 x 106
l1 = 0,034 x 10² m
l2 = 3 x 108/108 x 106
l2 = 0,027 x 10² m
Razão é uma divisão:
l1/l2 = 0,034 x 10²/0,027 x 10²
l1/l2 = 1,25
3) A figura representa, num determinado istante, o valor (em escala arbitrária) do campo elétrico. E associado a uma onda eletromagnética que se propaga no vácuo, ao longo do eixo x, correspondente a um raio de luz de determinada cor.
A velocidade da luz no vácuo vale 3,0 x 108 m/s. Qual é a freqência dessa luz em hertz?
f = v/l
O comprimento de onda, pelo gráfico, é de 6 x 10 – 7 m:
f = 3,0 x 108/6 x 10 – 7
f = 0,5 x 1015 Hz
4) Nas últimas décadas, o cinema têm produzido inúmeros filmes de ficção científica com cenas de guerras espaciais, como Guerra nas Estrelas. Com exceção de 2001, Uma Odisséia no Espaço, essas cenas apresentam explosões com estrondos impressionantes, além de efeitos luminosos espetaculares, tudo isso no espaço interplanetário.
a) | Comparando Guerra nas Estrelas, que apresenta efeitos sonoros de explosão, com 2001, uma odisséia no Espaço, que não os apresenta, qual deles está de acordo com as leis da Física? Explique sua resposta. As ondas sonoras são ondas mecânicas, e por isso não se propagam no vácuo. Então 2001, Uma Odisséia no Espaço está de acordo com as leis da Física, enquanto Guerra nas Estrelas não está. Não se pode ouvir uma explosão no espaço. |
b) | E quanto aos efeitos luminosos apresentados por ambos, estão de acordo com as leis Físicas? Justifique. |
Ambos os filmes estão de acordo com as leis Físicas, no que diz respeito aos efeitos luminosos, pois a luz é uma onda eletromagnética, e por isso pode se propagar no vácuo.
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