GEDANKENEXPERIMENT: dezembro 2010

terça-feira, 14 de dezembro de 2010

Conceito Final - 2º Semestre - 2010

1º A - Física

1º B - Física

2º C - Física

2º D - Física

3º A - Matemática

3º A - PTC

terça-feira, 7 de dezembro de 2010

Conceitos 3º A

Conceitos do 3º A referentes à avaliação em dupla do dia 02/12/2010:

segunda-feira, 6 de dezembro de 2010

Resolução da avaliação 3º A - Prova 2

Prova 2

1) Admita que o centro do plano complexo Argand-Gauss coincida com o centro de um relógio de ponteiros, como indica a figura:

Se o ponteiro dos minutos tem 2 unidades de comprimento, às 11h55 sua ponta estará sobre qual número complexo (na forma algébrica)?

Às 11h55, a ponta do ponteiro dos minutos representa o número complexo z de módulo 2 e argumento principal 4.30º = 120º.

Assim, z = 2 (cos 120º + i.sen 120º)

z = 2 [–1/2 + i(3) ½/2]

z = – 1 + i(3)½

2) Dados os números complexos z₁ = 2[cos (π/4) + i.sen (π/4)] e z₂ = 3[cos (π/2 + i.sen (π/2)], calcule e dê a resposta na forma trigonométrica e na forma algébrica:

a) ) z₁.z₂

z₁.z₂= 6 [cos (π/4 + π/2) + i.sen (π/4 + 2π/2)]

= 6 [cos (3π/4) + i.sen (3π/4)]

z₁.z₂= 6 [cos 135º + i.sen 135º]

= 6 {(2)½/2 + i.[–(2)½/2]}

= 3(2)½ – 3i.(2)½

b) z₁/z₂

z₁/z₂ = 2/3 [cos (π/4 – π/2) + i.sen (π/4 – π/2)

= 2/3 [cos (– π/4) + i.sen (– π/4)]

z₁/z₂ = 2/3 [cos (– 45º) + i.sen (– 45º)]

= 2/3 { (2)½/2 + i. [– (2)½/2]}

= (2)½/3 – i.(2)½/3

3) Um polinômio P(x) = x³ + ax² + bx + c, para qualquer que seja x real, satisfaz as seguintes condições: P(1) = 0 e P(– x) + P(x) = 0. Qual o valor de P(2)?

P(1) = 1 + a + b + c

a + b + c = - 1

P(- x) = - x³ + ax² - bx + c

P(- x) + P(x) = 0

- x³ + ax² - bx + c + (x³ + ax² + bx + c) = 0

2ax² + 2c = 0

ax² + c = 0

a = 0

c = 0

a + b + c = - 1

b = - 1

P(x) = x³ + 0x² + bx + 0

P(x) = x³ - x

P(2) = 2³ - 2

P(2) = 8 – 2

P(2) = 6

4) O polinômio p(x) = x³ + ax² + bx, em que a e b são números reais, tem restos 2 e 4 quando dividido por x – 2 e x – 1 respectivamente. Assim, calcule o valor de a.

a = – 6

5) O polinômio 2x³ + mx² + 4x – 1 é divisível por x – 1, então qual o valor do quociente?

Se o polinômio em questão é divisível pelo binômio dado significa que o resto é nulo, ou seja, R(x) = 0.

R(x) = m + 5 = 0

m + 5 = 0

m = – 5

Q(x) = 2x² + (2 + m)x + (6 + m)

Q(x) = 2x² + (2 – 5)x + (6 – 5)

Q(x) = 2x² – 3x + 1

Resolução da avaliação 3º A - Prova 1

Prova 1

1) Um jantar secreto é marcado para a hora em que as extremidades dos ponteiros do relógio forem representadas pelos números complexos z e w a seguir: z = α [cos (π/2) + i.sen (π/2)], w = z², sendo α um número real fixo, 0 < α < 1.

Determine a hora do jantar.

A partir dos dados, encontramos:

I) z = α.i

w = z² = (α.i)² = – α²

Assim, o afixo de z encontra-se no semi-eixo imaginário positivo e o afixo de w encontra-se no semi-eixo real negativo.

II) |z| = α

|w| = α²

Se 0 < α < 1, então α² < α Û |w| < |z|. Daí, concluímos que w representa a extremidade do ponteiro das horas e z a extremidade do ponteiro dos minutos. Portanto, de (I) e (II), podemos afirmar que o jantar foi marcado para as 9 horas.

2) Dados os números complexos z₁ = 3 [cos (π/3) + i.sen (π/3)] e z₂ = 2 [cos (2π/3) + i.sen (2π/3)], calcule e dê a resposta na forma trigonométrica e na forma algébrica:

a) z₁.z₂

z₁.z₂= 6 [cos (π/3 + 2π/3) + i.sen (π/3 + 2π/3)]

= 6 [cos (π) + i.sen (π)]

z₁.z₂= 6 [cos 180º + i.sen 180º]

= 6 [(–1) + i.(0)]

= – 6

b) z₁/z₂

z₁/z₂ = 3/2 [cos (π/3 – 2π/3) + i.sen (π/3 – 2π/3)

= 3/2 [cos (– π/3) + i.sen (– π/3)]

z₁/z₂ = 3/2 [cos (– 60º) + i.sen (– 60º)]

= 3/2 { (1/2) + i. [– (3)½/2]}

= 3/4 – 3i.(3)½/4

3) Dado o polinômio P(x) = x³ – 2x² +mx – 1, onde m ∈ R e seja P(a) o valor de P para x = a. Se P(2) = 3.P(0), calcule P(m).

P(2) = (2)³ – 2(2)² + m(2) – 1 = 8 – 8 + 2m – 1 = 2m – 1

P(0) = (0)³ – 2(0)² + m(0) – 1 = –1

P(2) = 3.P(0) ⇒ 2m – 1 = 3(– 1) ⇒ 2m = 1 – 3 ⇒ m = – 2/2 = – 1

P(–1) = (–1)³ – 2(–1) + (–1).( –1) – 1 = – 1 – 2 +1 – 1 = – 3

P(m) = P(– 1) = – 3

4) O resto da divisão do polinômio x³ + px + q por x + 1 é 4 e o resto da divisão deste mesmo polinômio por x – 1 é 8. Calcule o valor de p.

P(a) = R

P(– 1) = 4

(– 1)³ + p(– 1) + q = 4 ⇒ – 1 – p + q = 4 ⇒ – p + q = 5

P (1) = 8

(1)³ + p(1) + q = 8 ⇒ 1 + p + q = 8 ⇒ p + q = 7

Resolvendo o sistema, temos:

– p + q = 5

p + q = 7

q = 6

Deste modo:

p + q = 7 ⇒ p + 6 = 7 ⇒ p = 7 – 6 = 1

5) Se o polinômio x³ + kx² – 2x + 3 é divisível pelo polinômio x² – x + 1, então qual o valor do quociente?

P(x) º D(x).Q(x) + R(x)

x³ + kx² – 2x + 3 º (x² – x + 1).(x + k + 1) + 0

x³ + kx² – 2x + 3 º x³ + kx² + x² – x² – kx – x + x + k + 1 + 0

x³ + kx² – 2x + 3 º x³ + kx² – kx + k + 1

Por comparação dos coeficientes, temos:

– 2 = – k ⇒ k = 2

3 = (k +1) ⇒ k = 2

Deste modo:

Q(x) = x + (k + 1) = x + 2 + 1

Q(x) = x + 3

domingo, 5 de dezembro de 2010

Conceitos 2º D

Conceitos do 2º D referentes à avaliação individual do dia 02/12/2010:

Resolução da avaliação 2º D - Prova 2

Prova 2

1) Na Medicina, o ultrasom de freqüência entre 1,0 MHz e 10 MHz é empregado para examinar a forma e o movimento dos órgãos dentro do corpo. Admitindo que a velocidade de sua propagação nos tecidos do corpo humano é de aproximadamente 1500 m/s, qual o comprimento de onda empregado correspondente ao ultra-som de maior frequência? (dê a resposta em milímetros)

l = v/f

l = 1500/10 x 10⁶ = 150 x 10 ^{– 6} m

l = 15 x 10 ^{– 2} mm

2) A faixa de emissão de rádio em frequência modulada, no Brasil, vai de, aproximadamente, 88 MHz a 108 MHz. Qual a razão entre o menor e o maior comprimento de onda desta faixa?

Ondas de rádio são ondas eletromagnéticas e sua velocidade é igual a aproximadamente a velocidade da luz no vácuo: c = 3 x 10⁸ m/s.

l = v/f

l₁ = 3 x 10⁸/88 x 10⁶

l₁ = 0,034 x 10² m

l₂ = 3 x 10⁸/108 x 10⁶

l₂ = 0,027 x 10² m

Razão é uma divisão:

l₂/l₁ = 0,027 x 10²/0,034 x 10²

l₁/l₂ = 0,794

3) A figura representa, num determinado istante, o valor (em escala arbitrária) do campo elétrico. E associado a uma onda eletromagnética que se propaga no vácuo, ao longo do eixo x, correspondente a um raio de luz de determinada cor.

A velocidade da luz no vácuo vale 3,0 x 10⁸ m/s. Qual é a freqência dessa luz em hertz?

f = v/l

O comprimento de onda, pelo gráfico, é de 6 x 10 ^{– 6} m:

f = 3,0 x 10⁸/6 x 10 ^{– 6}

f = 0,5 x 10¹⁴ Hz

4) Nas últimas décadas, o cinema têm produzido inúmeros filmes de ficção científica com cenas de guerras espaciais, como Guerra nas Estrelas. Com exceção de 2001, Uma Odisséia no Espaço, essas cenas apresentam explosões com estrondos impressionantes, além de efeitos luminosos espetaculares, tudo isso no espaço interplanetário.

Comparando Guerra nas Estrelas, que apresenta efeitos sonoros de explosão, com 2001, uma odisséia no Espaço, que não os apresenta, qual deles está de acordo com as leis da Física? Explique sua resposta.

As ondas sonoras são ondas mecânicas, e por isso não se propagam no vácuo. Então 2001, Uma Odisséia no Espaço está de acordo com as leis da Física, enquanto Guerra nas Estrelas não está. Não se pode ouvir uma explosão no espaço.

E quanto aos efeitos luminosos apresentados por ambos, estão de acordo com as leis Físicas? Justifique.

Ambos os filmes estão de acordo com as leis Físicas, no que diz respeito aos efeitos luminosos, pois a luz é uma onda eletromagnética, e por isso pode se propagar no vácuo.

Resolução da avaliação 2º D - Prova 1

Prova 1

1) Em um exame de audiometria, uma pessoa foi capaz de ouvir frequências entre 50 Hz e 3 kHz. Sabendo-se que a velocidade do som no ar é 340 m/s, qual o comprimento de onda correspondente ao som de maior frequência (mais agudo) que a pessoa ouviu? (dê a resposta em centímetros)

A maior frequência e de 3 kHz = 3000 Hz:

l = v/f

l = 340/3000 = 0,113 m

l = 11,3 cm

2) A faixa de emissão de rádio em frequência modulada, no Brasil, vai de, aproximadamente, 88 MHz a 108 MHz. Qual a razão entre o maior e o menor comprimento de onda desta faixa?

Ondas de rádio são ondas eletromagnéticas e sua velocidade é igual a aproximadamente a velocidade da luz no vácuo: c = 3 x 10⁸ m/s.

l = v/f

l₁ = 3 x 10⁸/88 x 10⁶

l₁ = 0,034 x 10² m

l₂ = 3 x 10⁸/108 x 10⁶

l₂ = 0,027 x 10² m

Razão é uma divisão:

l₁/l₂ = 0,034 x 10²/0,027 x 10²

l₁/l₂ = 1,25

A velocidade da luz no vácuo vale 3,0 x 10⁸ m/s. Qual é a freqência dessa luz em hertz?

f = v/l

O comprimento de onda, pelo gráfico, é de 6 x 10 ^{– 7} m:

f = 3,0 x 10⁸/6 x 10 ^{– 7}

f = 0,5 x 10¹⁵ Hz

E quanto aos efeitos luminosos apresentados por ambos, estão de acordo com as leis Físicas? Justifique.

Ambos os filmes estão de acordo com as leis Físicas, no que diz respeito aos efeitos luminosos, pois a luz é uma onda eletromagnética, e por isso pode se propagar no vácuo.

Conceitos 2º C

Conceitos do 2º C referentes à avaliação individual do dia 03/12/2010:

Resolução da avaliação 2º C - Prova 2

Prova 2

l = v/f

l = 1500/10 x 10⁶ = 150 x 10 ^{– 6} m

l = 15 x 10 ^{– 2} mm

2) A faixa de emissão de rádio em frequência modulada, no Brasil, vai de, aproximadamente, 88 MHz a 108 MHz. Qual a razão entre o menor e o maior comprimento de onda desta faixa?

Ondas de rádio são ondas eletromagnéticas e sua velocidade é igual a aproximadamente a velocidade da luz no vácuo: c = 3 x 10⁸ m/s.

l = v/f

l₁ = 3 x 10⁸/88 x 10⁶

l₁ = 0,034 x 10² m

l₂ = 3 x 10⁸/108 x 10⁶

l₂ = 0,027 x 10² m

Razão é uma divisão:

l2/l1 = 0,027 x 10²/0,034 x 10²

l2/l1 = 0,794

A velocidade da luz no vácuo vale 3,0 x 10⁸ m/s. Qual é a freqência dessa luz em hertz?

f = v/l

O comprimento de onda, pelo gráfico, é de 6 x 10 ^{– 6} m:

f = 3,0 x 10⁸/6 x 10 ^{– 6}

f = 0,5 x 10¹⁴ Hz

4) De modo bem simplificado, podemos dizer que, ao emitir um som (bater uma palma, por exemplo), você altera a pressão sobre as moléculas de ar próximas, que passam a se mover para frente e para trás em torno da posição de equilíbrio. Neste vaivém elas atingem outras moléculas de ar que estão próximas a elas e esta perturbação da pressão vai então se deslocando. Este pulso é transversal ou longitudinal? Justifique.

O pulso é longitudinal, a oscilação das moléculas de ar, por onde a onda sonora passa, tem a mesma direção de propagação da onda.

5) Numa tempestade, primeiro vemos o raio e só depois de um tempo ouvimos o trovão. Explique este fenômeno observado com referência em seus studos sobre ondas.

Tal fenômemo ocorre pois a velocidade da luz é altíssima, cerca de 300 mil km/s no vácuo, e na atmosfera é próximo deste valor. Já o som possui velocidade de cerca de 300 m/s, variando conforme a temperatura e a densidade da atmosfera.

Resolução da avaliação 2º C - Prova 1

Prova 1

A maior frequência e de 3 kHz = 3000 Hz:

l = v/f

l = 340/3000 = 0,113 m

l = 11,3 cm

2) A faixa de emissão de rádio em frequência modulada, no Brasil, vai de, aproximadamente, 88 MHz a 108 MHz. Qual a razão entre o maior e o menor comprimento de onda desta faixa?

Ondas de rádio são ondas eletromagnéticas e sua velocidade é igual a aproximadamente a velocidade da luz no vácuo: c = 3 x 10⁸ m/s.

l = v/f

l₁ = 3 x 10⁸/88 x 10⁶

l₁ = 0,034 x 10² m

l₂ = 3 x 10⁸/108 x 10⁶

l₂ = 0,027 x 10² m

Razão é uma divisão:

l₁/l₂ = 0,034 x 10²/0,027 x 10²

l₁/l₂ = 1,25

A velocidade da luz no vácuo vale 3,0 x 10⁸ m/s. Qual é a freqência dessa luz em hertz?

f = v/l

O comprimento de onda, pelo gráfico, é de 6 x 10 ^{– 7} m:

f = 3,0 x 10⁸/6 x 10 ^{– 7}

f = 0,5 x 10¹⁵ Hz

O pulso é longitudinal, a oscilação das moléculas de ar, por onde a onda sonora passa, tem a mesma direção de propagação da onda.

5) Numa tempestade, primeiro vemos o raio e só depois de um tempo ouvimos o trovão. Explique este fenômeno observado com referência em seus studos sobre ondas.

Tal fenômeno ocorre pois a velocidade da luz é altíssima, cerca de 300 mil km/s no vácuo, e na atmosfera é próximo deste valor. Já o som possui velocidade de cerca de 300 m/s, variando conforme a temperatura e a densidade da atmosfera.

Conceitos 1º A

Conceitos do 1º A referentes à avaliação individual do dia 03/12/2010:

Resolução da avaliação 1º A - Prova 2

Prova 2

Numa partida de futebol, o goleiro bate o tiro de meta e a bola, de massa 0,5 kg, sai do solo com velocidade de módulo igual a 10 m/s, conforme mostra a figura.

No ponto P, a 2 metros do solo, um jogador da defesa adversária cabeceia a bola. Considerando g = 10 m/s² e desprezando-se o atrito, determine a velocidade da bola no ponto P em m/s.

Energia mecânica (inicial) = Energia mecânica (no ponto P)

m.v²/2 = mgh + mVp²/2

v²/2 = gh + Vp²/2

10²/2 = 10.2 + Vp²/2

50 = 20 + Vp²/2

Vp² = (50 - 30).2

Vp² = 60

Vp = 7,74 m/s

2) Um carrinho de massa 300 kg percorre uma montanha russa cujo trecho BCD é um arco de circunferência de raio R=5,4m, conforme a figura.

A velocidade do carrinho no ponto A é VA=12 m/s. Considerando g = 10 m/s² e desprezando o atrito, calcule:

a) a velocidade do carrinho no ponto C;

EmA = Energia total do sistema (puramente cinética neste ponto)

EmA = mvA²/2

EmA = 300.(12)²/2

EmA = 300.144/2 = 21600 J

Sendo assim,

EmA = EmC

21600 = EmC

21600 = mvC²/2 +mghC

21600 = 300.vC²/2 +300.10.5,4

21600 = 150.vC² + 16200

150.vC² = 21600 – 16200

vC² = 5400/150

vC² = 36

vC² = 6 m/s

b) a força feita pelos trilhos sobre o carrinho no ponto C.

A força feita pelos trilhos sobre o carrinho no ponto C é a Força Normal, e a Força Resltante neste ponto é igual à Força Centrípeta.

Força Resultante = Força Centrípeta

Força Centrípeta = Força Peso – Força Normal

mv²/R = mg – N

N = mg – (mv²/R)

N = 300.10 – (300.6²/5,4)

N = 3000 – 2000

N = 1000 Newtons

3) Um bloco de 1,0 kg de massa é posto a deslizar sobre uma mesa horizontal com energia cinética inicial de 2,0 joules. Devido ao atrito entre o bloco e a mesa ele pára, após percorrer a distância de 1,0 m. Pergunta-se:

a) Qual é o coeficiente de atrito, suposto constante, entre a mesa e o bloco?

Pelo Teorema da Energia Cinética, temos que o Trabalho da Força Resultante neste bloco é igual à variação da Energia Cinética:

Trabalho = Variação da Energia Cinética

A Força Resultante, neste caso, é a Força de atrito (Fat = u.N), a Energia Cinética final é igual a zero, pois o bloco para e o Trabalho da força de atrito é sempre negativo.

uN = Ecfinal - Ecinicial

- umg = 0 - Ecinicial

- u.1.10 = - 2

u.10 = 2

u = 2/10

u = 0,2

b) Qual é o trabalho efetuado pela força de atrito?

Trabalho da Força de atrito = Força de atrito x deslocamento x cosseno do ângulo

T = Fat.d.cos 180º

T = uN.d. (-1)

T = - (0,2.1.10) x (1)

T = - 2 Joules

4) Com base na figura a seguir, calcule a menor velocidade com que o corpo deve passar pelo ponto A para ser capaz de atingir o ponto B. Despreze o atrito e considere g = 10 m/s².

A menor velocidade que ele deve ter no ponto A deve somente ocorrer se ele chegar em B com velocidade nula.

EmA = EmB

mvA²/2 + mghA = mvB²/2 + mghB

vA²/2 + ghA = vB²/2 + ghB

vA²/2 + 10.8 = 0 + 10.13

vA²/2 + 80 = 130

vA²/2 = 130 - 80

vA² = 2.50

vA² = 100

vA = 10 m/s