Resolução da avaliação 3º A - Prova 2

Prova 2

1) Admita que o centro do plano complexo Argand-Gauss coincida com o centro de um relógio de ponteiros, como indica a figura:

Se o ponteiro dos minutos tem 2 unidades de comprimento, às 11h55 sua ponta estará sobre qual número complexo (na forma algébrica)?

Às 11h55, a ponta do ponteiro dos minutos representa o número complexo z de módulo 2 e argumento principal 4.30º = 120º.

Assim, z = 2 (cos 120º + i.sen 120º)

z = 2 [–1/2 + i(3) ½/2]

z =  ­– 1 + i(3)½

2) Dados os números complexos z₁ = 2[cos (π/4) + i.sen (π/4)] e z₂ = 3[cos (π/2 + i.sen (π/2)], calcule e dê a resposta na forma trigonométrica e na forma algébrica:

a) ) z₁.z₂

z₁.z₂ = 6 [cos (π/4 + π/2) + i.sen (π/4 + 2π/2)]

        = 6 [cos (3π/4) + i.sen (3π/4)]

z₁.z₂ = 6 [cos 135º + i.sen 135º]

        = 6 {(2)½/2 + i.[–(2)½/2]}

       = 3(2)½ – 3i.(2)½

b) z₁/z₂

z₁/z₂ = 2/3 [cos (π/4 – π/2) + i.sen (π/4 – π/2)

        = 2/3 [cos (– π/4) + i.sen (– π/4)]

z₁/z₂ = 2/3 [cos (– 45º) + i.sen (– 45º)]

       = 2/3 { (2)½/2 + i. [– (2)½/2]}

      =  (2)½/3 – i.(2)½/3

3) Um polinômio P(x) = x³ + ax² + bx + c, para qualquer que seja x real, satisfaz as seguintes condições: P(1) = 0 e P(– x) + P(x) = 0. Qual o valor de P(2)?

P(1) = 1 + a + b + c

a + b + c = - 1 

P(- x) = - x³ + ax² - bx + c

P(- x) + P(x) = 0

- x³ + ax² - bx + c + (x³ + ax² + bx + c) = 0

2ax² + 2c = 0

ax² + c = 0

a = 0

c = 0

a + b + c = - 1

b = - 1

P(x) = x³ + 0x² + bx + 0

P(x) = x³ - x

P(2) = 2³ - 2

P(2) = 8 – 2

P(2) = 6

4) O polinômio p(x) = x³ + ax² + bx, em que a e b são números reais, tem restos 2 e 4 quando dividido por x – 2 e x – 1 respectivamente. Assim, calcule o valor de a.

a = – 6

5) O polinômio 2x³ + mx² + 4x – 1 é divisível por x – 1, então qual o valor do quociente?

Se o polinômio em questão é divisível pelo binômio dado significa que o resto é nulo, ou seja, R(x) = 0.

R(x) = m + 5 = 0

m + 5 = 0

m = – 5

Q(x) = 2x² + (2 + m)x + (6 + m)

Q(x) = 2x² + (2 – 5)x + (6 – 5)

Q(x) = 2x² – 3x + 1