Resolução da avaliação 3º A - Prova 1

Prova 1

1) Um jantar secreto é marcado para a hora em que as extremidades dos ponteiros do relógio forem representadas pelos números complexos z e w a seguir: z = α [cos (π/2) + i.sen (π/2)], w = z², sendo α um número real fixo, 0 < α < 1.

Determine a hora do jantar.

A partir dos dados, encontramos:

I) z = α.i 

e

w = z² = (α.i)² = – α²

Assim, o afixo de z encontra-se no semi-eixo imaginário positivo e o afixo de w encontra-se no semi-eixo real negativo.

II) |z| = α

e

|w| = α²

Se 0 < α < 1, então α² < α Û |w| < |z|. Daí, concluímos que w representa a extremidade do ponteiro das horas e z a extremidade do ponteiro dos minutos. Portanto, de (I) e (II), podemos afirmar que o jantar foi marcado para as 9 horas.

2) Dados os números complexos z₁ = 3 [cos (π/3) + i.sen (π/3)] e z₂ = 2 [cos (2π/3) + i.sen (2π/3)], calcule e dê a resposta na forma trigonométrica e na forma algébrica:

a) z₁.z₂

z₁.z₂ = 6 [cos (π/3 + 2π/3) + i.sen (π/3 + 2π/3)]

        = 6 [cos (π) + i.sen (π)]

z₁.z₂ = 6 [cos 180º + i.sen 180º]

        = 6 [(–1) + i.(0)]

       = – 6   

b) z₁/z₂

z₁/z₂ = 3/2 [cos (π/3 – 2π/3) + i.sen (π/3 – 2π/3)

        = 3/2 [cos (– π/3) + i.sen (– π/3)]

z₁/z₂ = 3/2 [cos (– 60º) + i.sen (– 60º)]

       = 3/2 { (1/2) + i. [– (3)½/2]}

      = 3/4 – 3i.(3)½/4

3) Dado o polinômio P(x) = x³ – 2x² +mx – 1, onde m ∈ R e seja P(a) o valor de P para x = a. Se P(2) = 3.P(0), calcule P(m).

P(2) = (2)³ – 2(2)² + m(2) – 1 = 8 – 8 + 2m – 1 = 2m – 1

P(0) = (0)³ – 2(0)² + m(0) – 1 = –1

P(2) = 3.P(0) ⇒ 2m – 1 = 3(– 1) ⇒ 2m = 1 – 3 ⇒ m = – 2/2 = – 1

P(–1) = (–1)³ – 2(–1) + (–1).( –1) – 1 = – 1 – 2 +1 – 1 = – 3

P(m) = P(– 1) = – 3

4) O resto da divisão do polinômio x³ + px + q por x + 1 é 4 e o resto da divisão deste mesmo polinômio por x – 1 é 8. Calcule o valor de p.

P(a) = R

P(– 1) = 4

(– 1)³ + p(– 1) + q = 4 ⇒ – 1 – p + q = 4  ⇒ – p + q = 5

P (1) = 8

(1)³ + p(1) + q = 8  ⇒ 1 + p + q = 8 ⇒  p + q = 7

Resolvendo o sistema, temos:

– p + q = 5

    p + q = 7

           q = 6

Deste modo:

p + q = 7 ⇒  p + 6 = 7  ⇒  p = 7 – 6 = 1

5) Se o polinômio x³ + kx² – 2x + 3 é divisível pelo polinômio x² – x + 1, então qual o valor do quociente?

P(x) º D(x).Q(x) + R(x)

x³ + kx² – 2x + 3 º (x² – x + 1).(x + k + 1) + 0

x³ + kx² – 2x + 3 º x³ + kx² + x² – x² – kx – x + x + k + 1 + 0

x³ + kx² – 2x + 3 º x³ + kx² – kx + k + 1

Por comparação dos coeficientes, temos:

–  2 = – k ⇒ k = 2

e

3 = (k +1) ⇒ k = 2

Deste modo:

Q(x) = x + (k + 1) = x + 2 + 1

Q(x) = x + 3